Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）a₁=1，a₂=2，a₃=3．（3分）
（Ⅱ）2S_n=a_n²+a_n，①2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2）②（5分）
①-②即得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，（6分）
因?yàn)閍_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1，所以a_n=n（n∈N^*）（8分）
（Ⅲ）（Ⅲ）∵，
∴，
．
兩式相減得，
=1-．
所以．（13分）
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，分別令n=1，2，3，能夠求出a₁，a₂，a₃．
（Ⅱ）由2S_n=a_n²+a_n，知2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2），所以（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由，知，．由此能夠求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，注意數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．