Question

求證：sin²α+cosαcos（

π

3

+α）-sin²（

π

6

-α）的值是與α無(wú)關(guān)的定值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：直接根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換進(jìn)行變形，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)關(guān)系變換，注意“方變倍”思想的靈活應(yīng)用．

解答： 證明：sin²α+cosαcos（

π

3

+α）-sin²（

π

6

-α）
=

1-cos2α

2

-

1-cos( π 3 -2α)

2

+cosαcos(

π

3

+α)
=

cos2αcos π 3 +sin2αsin π 3

2

-

cos2α

2

+cosαcos(

π

3

+α)
=

cos2α

4

+

3 sin2α

4

-

cos2α

2

+cosα（cos

π

3

cosα-sin

π

3

sinα)
=

3 sin2α

4

-

cos2α

4

+

1

2

cos2α-

3 sinαcosα

2

=

3 sin2α

4

-

cos2α

4

+

1

2

•

1+cos2α

2

-

3 sin2α

4

=

1

4

所以：sin²α+cosαcos（

π

3

+α）-sin²（

π

6

-α）的值是與α無(wú)關(guān)的定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)函數(shù)關(guān)系是的恒等變換，三角函數(shù)“方變倍”思想的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．