Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）^m-x
（1）若函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求證：（1+sin1）（1+sin

1

22

）（1+sin

1

32

）…（1+sin

1

n2

）＜e²．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立，得到m的范圍；
（2）由題意得：ln（x+1）＜x，令g（x）=sinx-x，通過函數(shù)的單調(diào)性得sin1＜1，sin

1

22

＜

1

22

，…，sin

1

n2

＜

1

n2

，從而ln[（1+sin1）（1+sin

1

22

）…（1+sin

1

n2

）]＜2，進(jìn)而證出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=mln（1+x）-x，∴f′（x）=

m

1+x

-1，
∵函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立，
∵x∈（0，+∞），∴m≥1+x不能恒成立，
而1+x＞1，∴m≤1時(shí)，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
綜上：m≤1；

（2）由（1）得m=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）＜f（0），即ln（x+1）＜x，x∈（0，+∞），
∵sin1•sin

1

22

…sin

1

n2

＞0，
∴l(xiāng)n（1+sin1）＜sin1，…，ln（1+sin

1

n2

）＜sin

1

n2

，
令g（x）=sinx-x，x∈（0，

π

2

），則g′（x）=cosx-1＜0，
∴g（x）在（0，

π

2

）上是減函數(shù)，
∴g（x）＜g（0），即sinx＜x，x∈（0，

π

2

），
∴sin1＜1，sin

1

22

＜

1

22

，…，sin

1

n2

＜

1

n2

，
∴l(xiāng)n（1+sin1）+ln（1+sin

1

22

）+…+ln（1+sin

1

n2

）
＜sin1+sin

1

22

+…+sin

1

n2

＜1+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=2-

1

n

＜2，
即ln[（1+sin1）（1+sin

1

22

）…（1+sin

1

n2

）]＜2，
∴（1+sin1）（1+sin

1

22

）（1+sin

1

32

）…（1+sin

1

n2

）＜e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了不等式的證明問題，考查轉(zhuǎn)化思想，有一定的難度．