Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₂=5，a_n+1=a_n+2n+1，（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，求證：nT_n≤2n-1．
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：b_n=na_n，請(qǐng)寫(xiě)出{b_n}的前n項(xiàng)和U_n的公式（只要結(jié)果，不須推導(dǎo)），并據(jù)此求出U₁₉的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S₂=5，a_n+1=a_n+2n+1，先求出a₁，再根據(jù)a_n+1=a_n+2n+1，利用迭加法，求出當(dāng)n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證n=1是否適合，從而得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先證明當(dāng)n=1時(shí)，不等式nT_n≤2n-1成立，再根據(jù)n≥2時(shí)，利用放縮法，即可證明不等式nT_n≤2n-1成立，從而證得結(jié)論；
（3）根據(jù)題意，寫(xiě)出{b_n}的前n項(xiàng)和U_n，將n=19代入，即可求得U₁₉的值．

解答：解：（1）∵S₂=5，a_n+1=a_n+2n+1，
∴

a2=a1+3 a1+a2=5

，解得a₁=1，
∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₂-a₁=3，a₃-a₂=5，…，a_n-a_n-1=2n-1，
迭加可得，an-a1=n2-1，
∵a₁=1，
∴an=n2，
∵a1=1=12，
∴a₁也滿足上式，
∴an=n2（n∈N*）；
（2）∵Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，
①當(dāng)n=1時(shí)，T1=

1

a1

=1，
∴1T₁≤2×1-1，
∴：nT_n≤2n-1；
②當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜

1

1

+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

，
∴T_n＜2-

1

n

，
∴nT_n＜2n-1．
綜合①②可得，nT_n≤2n-1．
（3）∵bn=na n=n3，
∴Un=13+23+…+n3=[

n(n+1)

2

]2，
∴U19=[

19×20

2

]2=36100．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式．求數(shù)列通項(xiàng)公式常見(jiàn)的方法有：利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用S_n與a_n的關(guān)系，迭加法，迭乘法，構(gòu)造新數(shù)列．根據(jù)具體的條件判斷該選用什么方法求解．同時(shí)考查了證明不等式，運(yùn)用了放縮法證明不等式，關(guān)鍵是該如何進(jìn)行放縮才能得到所要證明的不等式．屬于難題．