Question

設a為非負實數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)，并求出零點．

Answer 1

分析：（I）先討論去絕對值，寫成分段函數(shù)，然后分別當x≥2時與當x＜2時的單調區(qū)間；
（II）討論a的正負，利用二次函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極小值與0進行比較，進行分別判定函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f(x)=x|x-2|-2=

x2-2x-2，x≥2 -x2+2x-2，x＜2

，①當x≥2時，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上單調遞增；
②當x＜2時，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上單調遞減，在（-∞，1）上單調遞增；
綜上所述，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，1）和（2，+∞），單調遞減區(qū)間是（1，2）．
（Ⅱ）（1）當a=0時，f（x）=x|x|，函數(shù)y=f（x）的零點為x₀=0；
（2）當a＞0時，f(x)=x|x-a|-a=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，
故當x≥a時，f(x)=(x-

a

2

)2-

a2

4

-a，二次函數(shù)對稱軸x=

a

2

＜a，
∴f（x）在（a，+∞）上單調遞增，f（a）＜0；
當x＜a時，f(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-a，二次函數(shù)對稱軸x=

a

2

＜a，
∴f（x）在(

a

2

，a)上單調遞減，在(-∞，

a

2

)上單調遞增；
∴f（x）的極大值為f(

a

2

)=-(

a

2

)2+a×

a

2

-a=

a2

4

-a，
1°當f(

a

2

)＜0，即0＜a＜4時，函數(shù)f（x）與x軸只有唯一交點，即唯一零點，
由x²-ax-a=0解之得函數(shù)y=f（x）的零點為x0=

a+ a2+4a

2

或x0=

a- a2+4a

2

（舍去）；
2°當f(

a

2

)=0，即a=4時，函數(shù)f（x）與x軸有兩個交點，即兩個零點，分別為x₁=2和x2=

a+ a2+4a

2

=2+2

2

；
3°當f(

a

2

)＞0，即a＞4時，函數(shù)f（x）與x軸有三個交點，即有三個零點，
由-x²+ax-a=0解得，x=

a± a2-4a

2

，
∴函數(shù)y=f（x）的零點為x=

a± a2-4a

2

和x0=

a+ a2+4a

2

．
綜上可得，當a=0時，函數(shù)的零點為0；
當0＜a＜4時，函數(shù)有一個零點，且零點為

a+ a2+4a

2

；
當a=4時，有兩個零點2和2+2

2

；
當a＞4時，函數(shù)有三個零點

a± a2-4a

2

和

a+ a2+4a

2

．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調性，以及函數(shù)零點問題，同時考查了分類討論的數(shù)學思想和計算能力，屬于中檔題．