Question

20．《九章算數(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，在其中有道“竹九問題”“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容各多少？”意思為：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量和為4升，上四節(jié)容量之和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻（即每節(jié)容量成等差數(shù)列），問每節(jié)容量各為多少？在這個問題中，中間一節(jié)的容量為（　�。�

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{37}{33}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{67}{66}$

Answer 1

分析 由題意知九節(jié)竹的容量成等差數(shù)列，至下而上各節(jié)的容量分別為a₁，a₂，…，a_n，公差為d，利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出中間一節(jié)的容量．

解答 解：由題意知九節(jié)竹的容量成等差數(shù)列，至下而上各節(jié)的容量分別為a₁，a₂，…，a_n，公差為d，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=4}\\{{{a}_{6}+a}_{7}+{a}_{8}+{a}_{9}=4{a}_{1}+26d=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=$\frac{95}{66}$，d=-$\frac{7}{66}$，
∴中間一節(jié)的容量a₅=a₁+4d=$\frac{95}{66}-\frac{28}{66}$=$\frac{67}{66}$．
故選：D．

點評 本題考查等差數(shù)列的中間項的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．