Question

7．已知圓C與y軸相切，圓心在直線x-2y=0上，且被x軸的正半軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．
（1）求圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）在圓C上，x²+y²-4y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圓心在直線x-2y=0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于圓的半徑，表示出半徑r，由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．
（2）確定出圓心及半徑，求出圓心C到（0，2）的距離d，根據(jù)d+r為圓上點(diǎn)到（0，2）距離的最大值，d-r為圓上的點(diǎn)到（0，2）距離的最小值，根據(jù)求出的最值平方即可得到x²+y²-4y的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)圓心為（2t，t），半徑為r=|2t|，
∵圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，
∴t²+3=4t²，
∴t=±1，
∵圓C與y軸的正半軸相切，
∴t=-1不符合題意，舍去，
故t=1，2t=2，
∴（x-2）²+（y-1）²=4．
（2）x²+y²-4y=x²+（y-2）²，
P（x，y）為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，
∴x²+y²-4y的表示圓上的點(diǎn)P到（0，2）距離的平方再減4，
∵圓心C到原點(diǎn)的距離d=$\sqrt{5}$，圓的半徑r=2，
∴圓上的點(diǎn)到（0，2）距離的最大值為d+r=$\sqrt{5}$+2，最小值為d-r=$\sqrt{5}$-2，
則x²+y²-4y的范圍是[（$\sqrt{5}$-2）²，4，（$\sqrt{5}$+2）²-4]，即[5-4$\sqrt{5}$，5+4$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線的距離公式，考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式．其中x²+y²-4y的表示圓上的點(diǎn)P到（0，2）距離的平方，進(jìn)而根據(jù)題意得出圓上的點(diǎn)到（0，2）距離的最大值為d+r及最小值為d-r是解本題的關(guān)鍵．