Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC₁的中點(diǎn)．
（1）證明：BF∥平面ECD₁；
（2）求二面角D₁-EC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取CD₁中點(diǎn)G，連結(jié)FG，由已知推導(dǎo)出四邊形FGEB為平行四邊形，由此能證明BF∥平面ECD₁．
（2）連結(jié)DE，E為AB的中點(diǎn)，DE⊥EC，DD₁⊥EC，由已知得∠DED₁為二面角D₁-EC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-EC-D的余弦值．

解答： （1）證明：取CD₁中點(diǎn)G，連結(jié)FG．
∵F為CC₁的中點(diǎn)D₁，∴FG=

1

2

C1D1且FG∥C₁D₁，
∵AB=C₁D₁且AB∥C₁D₁，∴FG=

1

2

AB=BE且FG∥BE，
∴四邊形FGEB為平行四邊形∴BF∥GE，…（4分）
∵GE?平面ECD₁，BF?平面ECD₁，
∴BF∥平面ECD₁．…（7分）
（2）解：連結(jié)DE，
∵AD=AA₁=1，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，∴DE⊥EC，…（9分）
∵DD₁⊥平面ABCD，∴DD₁⊥EC，
又DD₁∩DE=D，DD₁?平面EDD₁，
DE?平面EDD₁∴CE⊥平面EDD₁，∴CE⊥ED₁，…（11分）
∴∠DED₁為二面角D₁-EC-D的平面角．…（12分）
Rt△ADE中DE=

2

，
∴Rt△D₁DE中，D1E=

3

，
∴cos∠DED1=

DE

D1E

=

6

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．