Question

20．已知點(diǎn)P在橢圓x²+$\frac{y^2}{4}$=1上，求點(diǎn)P到直線l：x+y=4的距離的最大值與最小值．

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解即可．

解答 解：橢圓x²+$\frac{y^2}{4}$=1，則橢圓參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$，
點(diǎn)P（cosθ，2sinθ）
則$d=\frac{{|{cosθ+2sinθ-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{5}sin（θ+ϕ）-4}|}}{{\sqrt{2}}}$，其中tanϕ=$\frac{1}{2}$．
點(diǎn)P到直線l：x+y=4的距離的最大值$\frac{{4\sqrt{2}+\sqrt{10}}}{2}$，最小值$\frac{{4\sqrt{2}-\sqrt{10}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，橢圓的參數(shù)方程的求法與應(yīng)用，也可以設(shè)出平行線方程，利用切線之間的距離求解．