Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）若a＞0，證明f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）由f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，知f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=-a，以-a在[1，e]內(nèi)，左，右分為三類來討論，函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，進而求出最值，求出a的值，由范圍來取舍，得出a的值．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
由a＞0，得f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）遞增；
（2）∵f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0，得x=-a．
令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1時，f（x）在[1，e]上單增，
f（x）最小值=f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，a=-$\frac{3}{2}$＜-1，不符題意，舍；
②-a≥e，即a≤-e時，f（x）在[1，e]上單減，
f（x）最小值=f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，a=-$\frac{e}{2}$＞-e，不符題意，舍；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1時，f（x）在[1，-a]上單減，在[-a，e]上單增，
f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，a=-$\sqrt{e}$滿足；
綜上a=-$\sqrt{e}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，要確定函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論思想的應(yīng)用，掌握不等式恒成立時所取的條件．