Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且對于任意n∈N，有a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：k∈N時，

1

2

≤a₁+a₂+…+a_2k^＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）通過a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0，移項后兩邊同除（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1，構(gòu)造新數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）利用裂項法以及放縮法即可證明不等式．

解答： 解：（1）∵a₁=1，且對于任意n∈N，a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0．
∴a_n≠0，
則a_n+a_n+1=-（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1，
等式兩邊同時除以（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1，
得

1

(-1)n+1an+1

-

1

(-1)nan

=-1，
即{

1

(-1)nan

}是以

1

-a1

=-1為首項．-1為公差的等差數(shù)列．
則

1

(-1)nan

=-1-（n-1）=-n，
即a_n=

(-1)n+1

n

．
（2）∵k∈N^* 時，1-

1

2

＞0，

1

3

-

1

4

＞0，…

1

2k-1

-

1

2k

＞0，

1

2k

-

1

2k+1

＞0，
∴

1

2

≤1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+(

1

2k-1

-

1

2k

)＜1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+(

1

2k-1

-

1

2k

)+

1

2k+1

=1-（

1

2

-

1

3

）-(

1

4

-

1

5

)-…-（

1

2k

-

1

2k+1

）＜1，
即

1

2

≤a₁+a₂+…+a_2k＜a₁+a₂+…+a_2k+1＜1
故當(dāng)n＞1時，

1

2

≤a₁+a₂+…+a_n＜1成立．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，利用構(gòu)造法結(jié)合等差數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．，不等式的證明使用裂項法以及放縮法，難度較大．