Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E是線段AD的中點．
（1）試在線段AB上找一點F，使平面PCF⊥平面PBE，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，求二面角E-PC-F的余弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先找出點FA所在的位置，進(jìn)一步利用線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，面面垂直的判定，來說明結(jié)論成立．
（2）根據(jù)圖形的特點建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出平面的法向量，利用向量的夾角公式求出，二面角的余弦值．

解答： 解：取點F為線段AB的中點，使得使平面PCF⊥平面PBE．
理由：在四棱錐P-ABCD中，E是線段AD的中點．
連接PE，平面PAD⊥平面ABCD，
所以：PE⊥平面ABCD．
做AB的中點F，在底面ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是等邊三角形，
所以：△ABE≌△BCF
則：∠ABE=∠BCF
所以：∠EBC+∠BCF=90°
則：BE⊥CF，
由于：PE⊥平面ABCD，
所以：PE⊥CF，
所以：CF⊥平面PBE
CF?平面PCF，
所以：平面PCF⊥平面PBE．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則
得到：E（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），F(xiàn)（1，1，0），P（0，0，

3

），
D（-1，0，0），
則：

CF

=(2，-1，0)，

PF

=(1，1，-

3

)，
連接DF，得到DF⊥平面PEC
所以：

DF

可以看做是平面PEC的法向量．

DF

=(2，1，0)，
設(shè)平面PCF的法向量為

n

=（x，y，z）
則：

CF • n =0 DF • n =0

解得：

n

=(1，2，

3

)
所以：設(shè)二面角E-PC-F的平面角為θ
則：cosθ=

DF • n

| DF || n |

=

4

5 8

=

10

5

所以：二面角E-PC-F的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，面面垂直的判定，二面角的應(yīng)用，法向量，空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，向量的夾角公式的應(yīng)用．