Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）（3）見(jiàn)證明

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類(lèi)討論和兩種情況，即可得出結(jié)果；

（2）分類(lèi)參數(shù)的方法，將化為，再由導(dǎo)數(shù)的方法求在的最小值即可；

（3）先由（1）令可知對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，即，再令，即可證明結(jié)論成立.

解：（1）因?yàn)?/span>，所以，

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.

即當(dāng)時(shí)，恒成立.

令，則.

顯然當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴時(shí)取最小值.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

（3）在（1）中，令可知對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，

即（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）

令，則，即

故