Question

17．設(shè)f是一個(gè)從實(shí)數(shù)集R映射到自身的函數(shù)，并且對(duì)任何x∈R均有|f（x）|≤1，以及f（x+$\frac{13}{42}$）+f（x）=f（x+$\frac{1}{6}$）+f（x+$\frac{1}{7}$）．
證明：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)（即存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)c，使得對(duì)任何x∈R，f（x+c）=f（x）成立）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)周期性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行遞推即可得到結(jié)論．

解答 證明：因?yàn)閷?duì)任何x∈R，有f（x+$\frac{13}{42}$）+f（x）=f（x+$\frac{1}{6}$）+f（x+$\frac{1}{7}$）．
故f（x+$\frac{7}{42}$）-f（x）=f（x+$\frac{7}{42}$+$\frac{6}{42}$）-f（x+$\frac{6}{42}$）=f（x+$\frac{13}{42}$）-f（x+$\frac{6}{42}$）=f（x+$\frac{19}{42}$）-f（x+$\frac{12}{42}$）
=…
=f（x+$\frac{49}{42}$）-f（x+$\frac{42}{42}$），
即f（x+1）-f（x）=f（x+$\frac{49}{42}$）-f（x+$\frac{7}{42}$），①
同理f（x+$\frac{6}{42}$）-f（x）=f（x+$\frac{13}{42}$）-f（x+$\frac{7}{42}$），
則f（x+$\frac{1}{42}$+$\frac{6}{42}$）-f（x+$\frac{1}{42}$）=f（x+$\frac{1}{42}$+$\frac{13}{42}$）-f（x+$\frac{7}{42}$+$\frac{1}{42}$），
所以 f（x+$\frac{7}{42}$）-f（x+$\frac{1}{42}$）=f（x+$\frac{14}{42}$）-f（x+$\frac{8}{42}$）=f（x+$\frac{21}{42}$）-f（x+$\frac{19}{42}$）=…=f（x+$\frac{49}{42}$）-f（x+$\frac{43}{42}$），
即f（x+$\frac{49}{42}$）-f（x+$\frac{7}{42}$）=f（x+$\frac{43}{42}$）-f（x+$\frac{1}{42}$）．②
由①，②得 f（x+1）-f（x）=f（x+$\frac{43}{42}$）-f（x+$\frac{1}{42}$）=f（x+$\frac{44}{42}$）-f（x+$\frac{2}{42}$）=…=f（x+2）-f（x+1），
因此f（x+n）=f（x）+n[f（x+1）-f（x）]，對(duì)所有n∈N^• 成立．
 又對(duì)任何x∈R 均有|f（x）|≤1，即f（x）有界，故只有f（x+1）=f（x）．
所以f（x）是周期函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)周期的證明和判斷，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用遞推法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．