Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b值；
（2）若當(dāng)x∈[-1，

9

4

]，f（x）＜c²-

7

6

恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)f'（1）=0求出b的值；
（2）先求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，再轉(zhuǎn)化為解不等式即可．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+bx+c，
所以f′（x）=x²-3x+b．…（2分）
因?yàn)閒（x）在x=1處取得極值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）
（2）因?yàn)閒（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+2x+c，．所以f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	（2， 9 4 ）	9 4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 23 6 +c	單調(diào)遞增	5 6 +c	單調(diào)遞減	2 3 +c	單調(diào)遞增	45 64 +c

因此當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極大值

5

6

+c．…（6分）
又f（

9

4

）=

45

64

+c＜

5

6

+c，f（-1）=-

23

6

+c＜

5

6

+c，
∴x∈[-1，

9

4

]時(shí)，f（x）最大值為f（1）=

5

6

+c．…（7分）
∴c2-

7

6

＞

5

6

+c．∴c＜-1或c＞2．…（8分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的極值與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系以及函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法．導(dǎo)數(shù)是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考要給予充分的重視．