Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，求：
①寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
②過F₁且傾斜角為30°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△ABF₂的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：①由已知得2a=4，

12

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，由此能求出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
②由橢圓定義知△ABF₂的周長=4a，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：①橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，
由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2，
又點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，
因此

12

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，得b²=1，于是c²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1，焦點(diǎn)F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）．
②∵橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1，∴a=2，
∵過F₁且傾斜角為30°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
∴△ABF₂的周長=4a=8．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查三角形周長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用．