Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx，且定義域為（0，2）．
（1）求關(guān)于x的方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個的解x₁，x₂，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對x的范圍進行討論去絕對值符號，再解方程；
（2）對x的范圍進行討論去絕對值符號，得出兩個方程，對兩個方程的根的個數(shù)進行討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出不等式解出k的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=kx+3，∴|x²-1|+x²+kx=kx+3，即|x²-1|+x²=3．
若0＜x≤1，則|x²-1|+x²=1-x²+x²=1，此時方程無解．
若1＜x＜2，則|x²-1|+x²=2x²-1，原方程等價于：x²=2，此時該方程的解為x=$\sqrt{2}$．
綜上可知：方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解為x=$\sqrt{2}$．
（2）當0＜x≤1時，f（x）=0?kx=-1，①，當1＜x＜2時，f（x）=0?2x²+kx-1=0，②
若k=0則①無解，②的解為$x=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}∉（{1，2}）$，故k=0不合題意．
若k≠0，則①的解為$x=-\frac{1}{k}$．
∵方程②的判別式△=k²+8＞0，∴方程②有兩個不相等的根，不妨設(shè)為x₁，x₂，
則${x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}＜0$，∴x₁＜0＜x₂．
（i）若$-\frac{1}{k}∈（{0，1}]$，即k≤-1，則1＜x₂＜2，
設(shè)g（x）=2x²+kx-1，則$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k+1＜0}\\{7+2k＞0}\end{array}\right.$
解得$-\frac{7}{2}＜k＜-1$，又k≤-1，故$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．
（ii） 若$-\frac{1}{k}∉（{0，1}]$時，即-1＜k＜0或k＞0時，方程②在（1，2）須有兩個不同解，與x₁＜0＜x₂矛盾，不合題意．
綜上所述，$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．

點評 本題考查了二次函數(shù)根的個數(shù)判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．