Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E為PA的中點．
（1）若正視方向與AD平行，作出該幾何體的正視圖并求出正視圖面積；
（2）證明：平面CDE⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）沿AD方向看到的面為平面PAB在平面PCD上的投影，從而可得主視圖；
（2）先證明AB⊥平面PAD得出AB⊥DE，再證明DE⊥PA可得DE⊥平面PAB，故而平面CDE⊥平面PAB．

解答 解（1）正視圖如下：

主視圖面積S=$\frac{1}{2}×4×2$=4cm²．
（2）∵PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PD⊥AB，
∵AB⊥AD，PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，又DE?平面PAD，
∴DE⊥AB，
∵E是PA的中點，AD=PD，
∴DE⊥PA，
又AB?平面PAB，PA?平面PAB，PA∩AB=A，
∴DE⊥平面PAB，
又DE?平面CDE，
∴平面CDE⊥平面PAB．

點評 本題考查了棱錐的三視圖，線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定定理，屬于中檔題．