Question

已知

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（cos2θ，sin2θ），

c

=（0，1）．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求角θ；
（Ⅱ）設(shè)f（θ）=

a

•（

b

-

c

），當(dāng)θ∈（0，

π

2

）時，求f（θ）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合兩角差的正弦公式，即可求得θ；
（Ⅱ）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和的余弦公式，化簡f（θ），再由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得值域．

解答： 解：（Ⅰ）由于

a

∥

b

，
即有cosθsin2θ=sinθsin2θ，
即cosθsin2θ-sinθsin2θ=0，
即sinθ=0，解得，θ=kπ，k∈Z；
（Ⅱ）f（θ）=

a

•（

b

-

c

）=

a

•

b

-

a

•

c

=cosθcos2θ+sinθin2θ-sinθ
=cosθ-sinθ=

2

（

2

2

cosθ-

2

2

sinθ）
=

2

cos（θ+

π

4

）
由于θ∈（0，

π

2

），則θ+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
cos（θ+

π

4

）∈（-

2

2

，

2

2

）
則f（θ）的值域為（-1，1）．

點評：本題考查向量的共線和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查運算能力，屬于中檔題．