Question

已知圓M的半徑為3，圓心在x軸正半軸上，直線3x-4y+9=0與圓M相切
（Ⅰ）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)N（0，-3）的直線L與圓M交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而且滿足x12+x22=

21

2

x₁
x₂，求直線L的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（I）設(shè)圓心為M（a，0）（a＞0），由直線3x-4y+9=0與圓M相切可求出a值，進(jìn)而可得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線L的斜率不存在時，直線L：x=0，滿足條件，當(dāng)直線L的斜率存在時，設(shè)直線L：y=kx-3，聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達(dá)定理，可求出滿足條件的k值，進(jìn)而得到直線L的方程，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（I）設(shè)圓心為M（a，0）（a＞0），
∵直線3x-4y+9=0與圓M相切
∴

|3a+9|

32+(-4)2

=3．
解得a=2，或a=-8（舍去），
所以圓的方程為：（x-2）²+y²=9----------------------------------（4分）
（II）當(dāng)直線L的斜率不存在時，直線L：x=0，與圓M交于A（0，

5

），B（0，-

5

），
此時x12+x22=

21

2

x₁x₂=0，所以x=0符合題意-------------------------（6分）
當(dāng)直線L的斜率存在時，設(shè)直線L：y=kx-3，
由

y=kx-3 (x-2)2+y2=9

消去y，得（x-2）²+（kx-3）²=9，
整理得：（1+k²）x²-（4+6k）x+4=0-----------（1）
所以x1+x2=

4+6k

1+k2

，x1x2=

4

1+k2

由已知x12+x22=

21

2

x1x2得：(x1+x2)2=

25

2

x1x2，(

4+6k

1+k2

)2=

25

2

×

4

1+k2

整理得：7k²-24k+17=0，∴k=1，

17

7

-----------------------（10分）
把k值代入到方程（1）中的判別式△=（4+6k）²-16（1+k²）=48k+20k²中，
判別式的值都為正數(shù)，所以k=1，

17

7

，所以直線L為：y=x-3，y=

17

7

x-3，
即x-y-3=0，17x-7y-21=0
綜上：直線L為：x-y-3=0，17x-7y-21=0，x=0---------------------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是直線與圓的綜合應(yīng)用，難度中檔．