Question

（2010•福建）本題設(shè)有（1）（2）（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．

（1）已知矩陣M=，，且，

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；

（Ⅱ）求直線y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換下的像的方程．

（2）在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為．

（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

求|PA|+|PB|．

（3）已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|．

（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：選作題1：（Ⅰ）由矩陣MN的表達(dá)式，把他們相乘使左邊等于右邊既可求解實(shí)數(shù)a，b，c，d的值．

（Ⅱ）矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線，可選直線y=3x上的兩點(diǎn)做矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換下的像，即可確定原直線的像．

選做題2：（Ⅰ）由極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直線坐標(biāo)方程．

（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)系，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出兩實(shí)根的關(guān)系式，再有t的幾何意義求解．

選做題3：（Ⅰ）首先把函數(shù)的參數(shù)表達(dá)式≤3，解不等式求出a的值．

（Ⅱ）由上題解得的當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x﹣2|，可設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f（x+5），求出g（x）的函數(shù)表達(dá)式使其≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．求解M的范圍．

（1）選修1：【解析】
（Ⅰ）由題設(shè)得，解得；

（Ⅱ）因?yàn)榫仃嘙所對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線（或點(diǎn)），所以可取直線y=3x上的兩（0，0），（1，3），

由，，

得點(diǎn)（0，0），（1，3）在矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換下的線的像是（0，0），（﹣2，2），

從而直線y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換下的像的方程為y=﹣x．

（2）選修2：【解析】
（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x2+y2﹣2y=0，即=5．

（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得=5，

即t2﹣3t+4=0，

由于﹣4×4=2＞0，

故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，

所以，

又直線l過點(diǎn)P（3，），

故由上式及t的幾何意義得：

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．

（3）選修3：【解析】
（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3，

又已知不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣1≤x≤5}，

所以，解得a=2．

（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x﹣2|，

設(shè)g（x）=f（x）+f（x+5），

于是g（x）=|x﹣2|+|x+3|=，

所以，當(dāng)x＜﹣3時(shí)，g（x）＞5；

當(dāng)﹣3≤x≤2時(shí)，g（x）=5；

當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）＞5．