Question

已知函數(shù)f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．
（1）若m＜1，求證：函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
（2）如果函數(shù)f（x）的值域是[0，2]，試求m的取值范圍．
（3）若m≥1，試求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

證明：（1）當m＜1時，f（x）=x（3-x²）=3x-x³．
因為f′（x）=3-3x²=3（1-x²）＞0．
所以f（x）是增函數(shù)．
（2）令g（x）=x|x²-3|，x≥0．
則g（x）=

3x-x3，0≤x≤ 3 x3-3x，x＞ 3

，
當0＜x＜

3

時，由g′（x）=3-3x²=0得x=1，
所以g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，

3

]上是減函數(shù)．
當x＞

3

時，g′（x）=3x²-3＞0，所以g（x）在[

3

，+∞）上是增函數(shù)．
所以當x∈[0，

3

]時，函數(shù)g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（

3

）=0．
從而0＜m＜1不符合題意，1≤m≤

3

符合題意．
當m＞

3

時，在x∈[0，

3

)時，f（x）∈[0，2]；
在x∈[

3

，m]時，f（x）∈[0，f（m）]．
這時f（x）的值域是[0，2]的充要條件是f（m）≤2，
即m³-3m≤2，（m-2）（m+1）²≤0，解得

3

＜m≤2．
綜上所述，m的取值范圍是[1，2]．
（3）由（2）知，當1≤m≤2時，f（x）在[0，m]上的最大值為f（1）=2，最小值為f（0）=0，
∴f（x）在[0，m]上的值域為[0，2]．
當m＞2時，f（x）在[

3

，m]上單調(diào)遞增，
f(x)max=f(m)=m3-3m，
∴f（x）在[0，m]的值域為[0，m³-3m]．