Question

16．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，腰長為2，D、E分別是邊AB、BC的中點，將△BDE沿DE翻折，得到四棱錐B-ADEC，且F為棱BC中點，BA=$\sqrt{2}$．
（1）求證：EF⊥平面BAC；
（2）在線段AD上是否存在一點Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q-BE-A的余弦值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB中點H，連結DH、HF，在等腰Rt△ABC中，由已知可得AD=BD=1，則DH⊥AB，由線面垂直的判定可得DE⊥平面ADB，進一步得到AC⊥平面ADB，則AC⊥DH，可得DH⊥平面ABC，然后證明DEFH是平行四邊形，得EF∥DH，從而得到EF⊥平面ABC；
（2）以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz．求出A，B，E，C，F的坐標，設Q（0，t，0）（0≤t≤1），求出平面BQE的法向量$\overrightarrow{n}$，由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}$=0求得$t=\frac{1}{3}$，即線段AD上存在一點$Q（{0，\frac{1}{3}，0}）$，使得AF∥平面BEQ，再求出平面BAE的法向量為$\overrightarrow{m}$，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角Q-BE-A的余弦值．

解答 （1）證明：取AB中點H，連結DH、HF，
在等腰Rt△ABC中，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分別是邊AB、BC的中點，∴AD=BD=1，
又∵翻折后$AB=\sqrt{2}$，∴翻折后AD⊥BD，且△ADB為等腰直角三角形，則DH⊥AB，
∵翻折后DE⊥AD，DE⊥BD，且AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，
∵DE∥AC，∴AC⊥平面ADB，則AC⊥DH，
又AB∩AC=A，∴DH⊥平面ABC，
又∵HF∥AC，DE∥AC，且HF=$\frac{1}{2}$AC=DE，
∴DEFH是平行四邊形，則EF∥DH，
∴EF⊥平面ABC；
（2）以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz．
則A（0，1，0），B（0，0，1），E（1，0，0），C（2，1，0），$F（{1，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，
設Q（0，t，0）（0≤t≤1），
則$\overrightarrow{BQ}=（{0，t，-1}），\overrightarrow{EQ}=（{-1，t，0}），\overrightarrow{AF}=（{1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，
設平面BQE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BQ}=yt-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EQ}=-x+ty=0}\end{array}\right.$，取y=1，則$\overrightarrow{n}$=（t，1，t），
要使AF∥平面BEQ，則須$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=（t，1，t）•（1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）=t-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t=0$，
∴$t=\frac{1}{3}$，即線段AD上存在一點$Q（{0，\frac{1}{3}，0}）$，使得AF∥平面BEQ，
設平面BAE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=x-y=0}\end{array}\right.$，取y=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{11}{9}}•\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{33}}=\frac{5\sqrt{33}}{33}$，
∵二面角Q-BE-A為銳二面角，∴其余弦值為$\frac{{5\sqrt{33}}}{33}$，
即線段AD上存在一點Q（點Q是線段AD上的靠近點D的一個三等分點），
使得AF∥平面BEQ，此時二面角Q-BE-A的余弦值為$\frac{{5\sqrt{33}}}{33}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．