Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個(gè)上界．已知函數(shù)f（x）=

ex

a

+

a

ex

，g（x）=log₂

3+ax

x+3

．其中a＜0
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，1]上的所有上界構(gòu)成的集合；
（3）在（1）的條件下，是否存在這樣的負(fù)實(shí)數(shù)k，使g（k-cosθ）+g（cos²θ-k²）≥0
對(duì)一切θ∈R恒成立，若存在，試求出k取值的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過f（x）=

ex

a

+

a

ex

為偶函數(shù)，推出a²=1，然后求出a．
（2）求出g(x)=log2

3-x

x+3

，通過單調(diào)性求出-1≤g（x）≤1，然后求出函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，1]上的所有上界構(gòu)成集合為[1，+∞）．
（3）求出g（x）的定義域?yàn)椋?3，3），判斷f（x）是奇函數(shù)．通過f（x）是（-3，3）上的減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為：

k＜0 -3＜k-cosθ＜3 -3＜cos2θ-k2＜3 k-cosθ≤k2-cos2θ

對(duì)θ∈R恒成立，然后求解k的范圍．

解答： （本題14分）
解：（1）因?yàn)閒（x）=

ex

a

+

a

ex

為偶函數(shù)，
所以f（-x）=f（x），即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
∴(a-

1

a

)(ex-

1

ex

)=0
得a²=1，
而a＜0，故a=-1…（2分）．
（2）由（1）得：g(x)=log2

3-x

x+3

，
而g（x）=log₂（-1+

1

x+3

），
易知g（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
所以-1≤g（x）≤1，
所以函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-1，1]，
所以|g（x）|≤1，…（5分）
故函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，1]上的所有上界構(gòu)成集合為[1，+∞）．…（6分）
（3）∵g（x）的定義域?yàn)椋?3，3）
由于f(-x)=lg(

3+x

3-x

)=-lg(

3-x

3+x

)=-f(x)∴f（x）是奇函數(shù)．…（7分）
又易知g（x）在區(qū)間（-3，3）上單調(diào)遞減，
∵g（k-cosθ）+g（cos²θ-k²）≥0
∴f（k-cosθ）≥-f（cos²θ-k²）=f（k²-cos²θ）…（8分）
∵f（x）是（-3，3）上的減函數(shù)
∴

k＜0 -3＜k-cosθ＜3 -3＜cos2θ-k2＜3 k-cosθ≤k2-cos2θ

對(duì)θ∈R恒成立，
由k-cosθ≤k²-cos²θ對(duì)θ∈R恒成立，
得：k-k²≤cosθ-cos²θ對(duì)θ∈R恒成立．…（10分）
令y=cosθ-cos2θ=

1

4

-(cosθ-

1

2

)2，

∵cosθ∈[-1，1]∴y∈[-2， 1 4 ]

，
∴k-k²≤-2⇒k≤-1，
同理：由-3＜k-cosθ＜3對(duì)θ∈R恒成立得：-2＜k＜2…（12分）．
由-3＜cos²θ-k²＜3對(duì)θ∈R恒成立得：-

3

＜k＜

3

…（13分）．
即綜上所得：-

3

＜k≤-1．
所以存在這樣的k其范圍為-

3

＜k≤-1…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性以及函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，分析問題解決問題的能力．