Question

20．給出下列函數(shù)：
①f（x）=xsinx；
②f（x）=e^x+x；
③f（x）=ln（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）；
?a＞0，使${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx=0的函數(shù)是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①求出${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx的積分，結(jié)合函數(shù)的圖象得出存在a＞0，使${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx=0成立；
②求出${∫}_{-a}^{a}$（e^x+x）dx=0時(shí)a的值，得出命題不成立；
③根據(jù)f（x）是定義域上的奇函數(shù)，積分的上下限互為相反數(shù)，得出定積分值為0，滿(mǎn)足條件．

解答 解：對(duì)于①，f（x）=xsinx，
∵（sinx-xcosx）′=xsinx，
∴${∫}_{-a}^{a}$xsinxdx=（sinx-xcosx）${|}_{-a}^{a}$=2sina-2acosa，
令2sina-2acosa=0，
∴sina=acosa，
又cosa≠0，∴tana=a；

畫(huà)出函數(shù)y=tanx與y=x的部分圖象，如圖所示；
在（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)，兩函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，
即存在a＞0，使${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx=0成立，①滿(mǎn)足條件；
對(duì)于②，f（x）=e^x+x，${∫}_{-a}^{a}$（e^x+x）dx=（e^x+$\frac{1}{2}$x²）${|}_{-a}^{a}$=e^a-e^-a；
令e^a-e^-a=0，解得a=0，不滿(mǎn)足條件；
對(duì)于③，f（x）=ln（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）是定義域R上的奇函數(shù)，
且積分的上下限互為相反數(shù)，
所以定積分值為0，滿(mǎn)足條件；
綜上，?a＞0，使${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx=0的函數(shù)是①③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了定積分運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，當(dāng)被積函數(shù)為奇函數(shù)且積分區(qū)間對(duì)稱(chēng)時(shí)，積分值為0，是綜合性題目．