如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大��；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由．

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，=

解析試題分析：（Ⅰ）,所以為中點。因為等邊三角形中線即為高線，等腰三角形底邊中線也為高線，可證得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得底面。（Ⅱ）直線與平面在圖中沒有標示出交點，故用空間向量法較簡單。根據(jù)底面為菱形和底面可建立以為原點的空間直角坐標系。求點坐標可根據(jù)，得,即可求點的坐標，也可根據(jù)求。先求面的法向量，此法向量與所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值。（Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點，使得∥平面。設(shè)，可得點坐標，在（Ⅱ）中以求出面的法向量，因為∥平面，所以垂直與的法向量，可求得的值，若說明假設(shè)成立，否則假設(shè)不成立。
試題解析：解：（Ⅰ）因為底面是菱形，,
所以為中點.                      1分
又因為,
所以,                                   3分[
所以底面.                                    4分
（Ⅱ）由底面是菱形可得,
又由（Ⅰ）可知.
如圖，以為原點建立空間直角坐標系.

由是邊長為2的等邊三角形，，
可得.
所以.            5分
所以,.
由已知可得            6分
設(shè)平面的法向量為，則
即
令，則，所以.          8分
因為，          9分
所以直線

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，矩形中，，，，且，交于點.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結(jié)、,其中.

(Ⅰ)求證:平面；
(Ⅱ)在線段上是否存在點使得平面?若存在,求出點的位置；若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC與BD的交點M恰好是AC中點,N為線段PB的中點,G在線段BM上,且

(Ⅰ)求證：AB⊥PD；
(Ⅱ)求證：GN//平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，，D為AC的中點，.

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且，點C為圓O上一點，且．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=DB．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正方形所在平面與圓所在的平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在的平面，垂足為圓上異于、的點，設(shè)正方形的邊長為，且.

（1）求證：平面平面；
（2）若異面直線與所成的角為，與底面所成角為，二面角所成角為，求證

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°.

（1）求證：BD⊥PC；
（2）設(shè)E為PC的中點，點F在線段AB上，若直線EF∥平面PAD，求AF的長；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示.

（1）證明：平面；
（2）在的平分線上確定一點，使得平面，并求此時的長.

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