Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求證：PD∥平面EAC；
（2）求證：平面APD⊥平面EAC．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出△AOB∽△DOC，從而$\frac{OB}{DO}=\frac{AB}{DC}$=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而$\frac{BE}{PE}=\frac{BO}{DO}$，推導(dǎo)出OE∥PD，由此能證明PD∥平面EAC．
（2）取CD中點(diǎn)F，連結(jié)AF，推導(dǎo)出PA⊥AC，AC⊥AD，從而AC⊥平面PAD，由此能證明平面APD⊥平面EAC．

解答 證明：（1連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，
∵底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴△AOB∽△DOC，∴$\frac{OB}{DO}=\frac{AB}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB，
∴$\frac{BE}{PE}=\frac{BO}{DO}$，∴OE∥PD，
∵PD?平面AEC，OE?平面AEC，
∴PD∥平面EAC．
（2）取CD中點(diǎn)F，連結(jié)AF，
∵在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴PA⊥AC，四邊形ABCF是正方形，AF=DF=CF，AF⊥CD，
∴AC⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴AC⊥平面PAD，
∵AC?平面PAC，
∴平面APD⊥平面EAC．

點(diǎn)評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．