Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3x+1，當(dāng)x∈[2，+∞），f（x）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{5}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 問題等價(jià)于x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥-3a．令g（x）=x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：x∈[2，∞），f（x）≥0，
即x³+3ax²+3x+1≥0，
即x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥-3a．
令g（x）=x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
則g'（x）=$\frac{{x}^{3}-3x-2}{{x}^{3}}$，
下面我們證g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，
也即x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
令h（x）=x³-3x-2，則h'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴h（x）在x∈[2，∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）≥h（2）=0，也就是x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）為增函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（2）=$\frac{15}{4}$，
-3a≤g（2）=$\frac{15}{4}$，
解得a≥-$\frac{5}{4}$，
故答案為：[-$\frac{5}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．