Question

已知f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）證明：（1+

1

24

）•（1+

1

34

）•…•（1+

1

n4

）＜e（n∈N^*，n≥2，其中無理數(shù)e=2.71828…）

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），討論a的與0和-1的大小，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）先根據(jù)a=-1時(shí)，f（x）的單調(diào)性得到ln（1+x²）＜x，然后利用該不等式得到ln[（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）]＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，最后利用放縮法進(jìn)行化簡，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-

ax

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=

2x

1+x2

＞0?x＞0
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∝，0）單調(diào)遞減．
當(dāng)a＜0且ax²+2x+a=0的判別式△≤0，
即a≤0時(shí)，f′（x）≤0對x∈R恒成立．
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得：ax²+2x+a＞0
解得：

1+ 1-a2

a

＜x＜

1- 1-a2

a

由f′（x）＜0可得：x＞

1- 1-a2

a

或x＜

1+ 1-a2

a

∴f（x）在[

1+ 1-a2

a

，

1- 1-a2

a

]上單調(diào)遞增，
在（-∝，

1+ 1-a2

a

]，[

1- 1-a2

a

，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜f（0）
∴l(xiāng)n（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x
∴l(xiāng)n[（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）]
=ln（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n

＜1
∴（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）＜e．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，放縮法和裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．