Question

已知函數(shù)f(x)=cos(x-

π

4

)．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f(α)=

3

5

，其中

π

4

＜α＜

3π

4

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合題意可得當(dāng)x=-

π

12

時，函數(shù)取得最小值

1

2

，當(dāng)x=

π

4

時，函數(shù)取得最大值1；
（2）由函數(shù)的表達式，結(jié)合題意算出sin(α-

π

4

)=

4

5

．再進行配角α=(α-

π

4

)+

π

4

，利用兩角和的正弦公式即可算出sinα的值．

解答：解：（1）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]…（1分）∴x-

π

4

∈[-

π

3

，

π

4

]…（2分）
∴當(dāng)x-

π

4

=-

π

3

時，即x=-

π

12

時，函數(shù)取得最小值

1

2

；…（4分）
當(dāng)x-

π

4

=0時，即x=

π

4

時，函數(shù)取得最大值1．…（6分）
（2）∵f(α)=cos(α-

π

4

)=

3

5

，且0＜α-

π

4

＜

π

2

，…（7分）
∴sin(α-

π

4

)=

4

5

．…（8分）
可得：

sinα=sin[(α- π 4 )+ π 4 ] =sin(α- π 4 )cos π 4 +cos(α- π 4 )sin π 4 = 7 10 2

即sinα的值為

7 2

10

點評：本題求三角函數(shù)在指定區(qū)間上的最大最小值，并求特殊三角函數(shù)的值．著重考查了任意角的三角函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和的正弦公式等知識，屬于中檔題．