Question

10．已知f（x）對任意x∈[0，+∞）都有f（x+1）=-f（x），且當x∈[0，1）時，f（x）=x，若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+1）（0＜a＜1）在區(qū)間[0，4]上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• C． [$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的周期和[0，1）的解析式畫出f（x）在[0，4]的圖象，根據(jù)圖象交點個數(shù)列出不等式組解出a的范圍．

解答 解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），∴f（x）的周期為2．
當x∈[1，2）時，x-1∈[0，1），∴f（x）=-f（x+1）=-f（x-1）=-（x-1）=1-x．
作出f（x）和y=log_a（x+1）的函數(shù)圖象如圖：
∵函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+1）（0＜a＜1）在區(qū)間[0，4]上有兩個零點，
∴l(xiāng)og_a（2+1）＞-1，log_a（4+1）≤-1．
解得$\frac{1}{5}$≤a$＜\frac{1}{3}$．
故選C．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的應用，函數(shù)零點個數(shù)的判斷，作出f（x）的圖象是關鍵．