Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程
（Ⅱ）求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過討論t的范圍，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（I）$f'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，…（2分）
所以f'（1）=0，又f（1）=e，
所以函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=e．…（5分）
（II）由$f（x）=\frac{e^x}{x}$，得f′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，0），（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
x=1為f（x）的極小值點．…（7分）
當(dāng)t≥1時，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（t）=$\frac{{e}^{t}}{t}$，f（x）_max=f（t+1）=$\frac{{e}^{t+1}}{t+1}$；
當(dāng)9＜t＜1時，t+1＞1，
∴f（x） 在（t，1）單調(diào)遞減，在（1，t+1）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=e，
綜上所述，當(dāng)t≥1時，$f{（x）_{min}}=f（t）=\frac{e^t}{t}$；
當(dāng)0＜t＜1時，f（x）_min=f（1）=e．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程，是一道中檔題．