Question

20．已知函數(shù)f（x）=log₂（x-m），其中m∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，t]（t＞1）上的最大值與最小值之差為2，且f（t）＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出m=x-1，關(guān)于x的范圍，求出m的范圍即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（t）最大，f（1）最小，作差求出t=4-3m，得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由log₂（x-m）=0，得m=x-1，
由2＜x＜3得：1＜x-1＜2，
故m的范圍是（1，2）；
（2）f（x）在[1，t]（t＞1）遞增，
∴f（t）-f（1）=2，
∴l(xiāng)og₂（t-m）-log₂（1-m）=2，
∴l(xiāng)og₂$\frac{t-m}{1-m}$=log₂4，
∴t=4-3m，
由f（t）＞0，得t＞m+1，
∴4-3m＞m+1，
解得：m＜$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．