Question

已知函數(shù) ，．

(1）當(dāng) 時，求函數(shù) 的最小值；

(2）當(dāng) 時，求證：無論取何值，直線均不可能與函數(shù)相切；

(3）是否存在實數(shù)，對任意的 ，且，有恒成立，若存在求出的取值范圍，若不存在，說明理由。

 

Answer 1

（1）-2ln2；（2）詳見解析；（3）存在實數(shù)，．

【解析】

試題分析：（1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）的最小值；（2）把a(bǔ)=-1代入原函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)后利用基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的值域，從而說明無論c 取何值，直線均不可能與函數(shù)f（x）相切；（3）假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的 ，且 ，有恒成立，假設(shè) ，則 恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù) ，只要使函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)即可，利用其導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0可求解a的取值范圍．

解；（1）顯然函數(shù)的定義域為，

當(dāng)．

∴ 當(dāng)，．

∴在時取得最小值，其最小值為 ．

（2）∵，

假設(shè)直線與相切，設(shè)切點為，則

所以所以無論取何值，直線均不可能與函數(shù)相切。

（3）假設(shè)存在實數(shù)使得對任意的 ，且，有,恒成立，不妨設(shè)，只要，即：

令，只要 在為增函數(shù)

又函數(shù)．

考查函數(shù)

要使,

故存在實數(shù)恒成立．

考點：1．利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．