Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分別是A₁B₁，BC的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若點P線段BN上，且三棱錐P-AMN的體積VP-AMN=

5

21

，求

NP

PB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明：MN∥平面ACC₁A₁，設(shè)AC的中點為D，連接DN，A₁D，只需證明A₁D∥MN即可；
（Ⅱ）通過三棱錐P-AMN的體積VP-AMN=

5

21

，利用棱柱的高，求出△APN的面積，再利用面積的比求

NP

PB

的值．

解答：解：（I）證明：設(shè)AC的中點為D，連接DN，A₁D．
∵D，N分別是AC，BC的中點，
∴DN

∥ .

.

1

2

AB（2分）
又∵A1M=

1

2

A1B1，A1B1

∥ .

.

AB，
∴A1M

∥ .

.

DN，
∴四邊形A₁DNM是平行四邊形
∴A₁D∥MN（4分）
∵A₁D?平面ACC₁A₁，
MN?平面ACC₁A₁∴MN∥平面ACC₁A₁（6分）

（II）∵VP-AMN=VM-APN=

5

21

又M到底面ABC的距離：AA₁=2
∴

1

3

×S△APN×AA1=

5

21

（8分）
∵N為BC中點∴S△ABN=

1

2

S△ABC=

1

2

×AB×AC=

1

2

（9分）
∵P點在線段BN上時，

PN

BN

=

S△APN

S△ABN

=

5

7

（11分）
此時

NP

PB

=

5

2

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查棱錐的體積，學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．