Question

8．已知點P（0，2）和圓C：x²+y²-8x+11=0．
（1）求過點P，點C和原點三點圓的方程；
（2）求以點P為圓心且與圓C外切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）化圓C的方程為標準方程，求出圓C的圓心坐標和半徑，再設(shè)過點P，點C和原點三點圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．代入點的坐標可得關(guān)于D、E、F的三元一次方程組，求出D、E、F的值得所求圓的方程；
（2）求出P與C的距離，減去已知圓的半徑得到要求圓的半徑，代入圓的標準方程得答案．

解答 解：（1）化圓C：x²+y²-8x+11=0為（x-4）²+y²=5
則圓心C（4，0），半徑r=$\sqrt{5}$，
設(shè)過點P，點C和原點三點圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
代入點的坐標得：$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{{2}^{2}+2E+F=0}\\{{4}^{2}+4D+F=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{2E+F+4=0}\\{4D+F+16=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{D=-4}\\{E=-2}\\{F=0}\end{array}\right.$．
∴過點P，點C和原點三點圓的方程為x²+y²-4x-2y=0；
（2）如圖，∵C（4，0），P（0，2），
∴|PC|=$\sqrt{（4-0）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{5}$，
又圓C的半徑r=$\sqrt{5}$，且圓P與圓C外切，
∴圓P的半徑為$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$．
則以點P為圓心且與圓C外切的圓的方程為x²+（y-2）²=5．

點評 本題考查圓的一般式方程，考查了圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．