Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x|，g（x）=-|x-a|+m．
（1）解關(guān)于x的不等式g[f（x）]+2-m＞0；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的解法進行求解即可．
（2）若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，等價為f（x）＞g（x）恒成立，利用絕對值的運算性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）由g[f（x）]+2-m＞0得||x|-a|＜2，
∴-2＜|x|-a＜2，∴a-2＜|x|＜a+2
故：當a≥2時，不等式的解集為{x|-a-2＜x＜-a+2或a-2＜x＜a+2}
當-2＜a＜2時，不等式的解集為{x|-a-2＜x＜a+2}
當a≤-2時，不等式的解集為空集．                                          …（5分）
（2）∵函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方
∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x-a|+|x|恒成立                              …（8分）
∵|x-a|+|x|≥|（x-a）-x|=|a|．
∴m的取值范圍為（-∞，|a|）．                                                 …（10分）

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立是解決本題的關(guān)鍵．