Question

4．已知函數(shù)f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-blnx（a，b∈R），g（x）=x²．
（1）若a=1，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直，求b的值；
（2）在（1）的條件下，求證：g（x）＞f（x）-2ln2．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，由已知得到f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)為0，即可求b的值；
（2）設(shè)F（x）=g（x）-f（x）+2ln2=x²-（x-$\frac{1}{x}$）+2lnx+2ln2，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，由已知得到f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)為0．
而f'（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{x}$，所以f'（1）=2-b=0，從而b=2．
（2）設(shè)F（x）=g（x）-f（x）+2ln2=x²-（x-$\frac{1}{x}$）+2lnx+2ln2
F'（x）=2x-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}}$
設(shè)w（x）=2x³-x²+2x-1，（x＞0）w'（x）=6x²-2x+2=2（3x²-x+1）恒＞0，即有w（x）在x＞0上是增函數(shù)．又因?yàn)閣（x）=（2x-1）（x²+1），
可知w（$\frac{1}{2}$）=0，
則當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，w（x）＜0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，w（x）＞0
所以當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)減；當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)增．
所以F（x）≥F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$＞0，
∴g（x）＞f（x）-2ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．