Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示，P是圖象的最高點(diǎn)，Q為圖象與x軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OQ=4，OP=

5

，PQ=

13

．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移2個(gè)單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由條件利用余弦定理求得cos∠POQ的值，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)由此求得A的值，再根據(jù)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由周期求得ω，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖求得φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）=2sin

π

6

x，利用三角恒等變換求得h（x）=1+2sin（

π

3

x-

π

6

），再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得h（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由函數(shù)y=f（x）的圖象，OQ=4，OP=

5

，PQ=

13

，利用余弦定理可得cos∠POQ=

OP2+OQ2-PQ2

2OP•OQ

=

5

5

，
∴sin∠POQ=

1-cos2∠POQ

=

2 5

5

，故點(diǎn)P（1，2），點(diǎn)Q（4，0），故有A=

8 5

5

．
再根據(jù)

1

4

•

2π

ω

=4-1=3，∴ω=

π

6

．
由五點(diǎn)法作圖可得

π

6

•1+φ=

π

2

，求得φ=

π

3

，故函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移2個(gè)單位后得到函數(shù)y=g（x）=2sin[

π

6

（x-2）+

π

3

]=2sin

π

6

x的圖象，
可得h（x）=f（x）•g（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）•2sin

π

6

x=4（sin

π

6

xcos

π

3

+cos

π

6

xsin

π

3

）sin

π

6

x=2sin2

π

6

x+2

3

sin

π

6

x•cos

π

6

x
=1-cos

π

3

x+

3

sin

π

3

x=1+2sin（

π

3

x-

π

6

）．
當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)，

π

3

x-

π

6

∈（-

π

2

，

π

2

），sin（

π

3

x-

π

6

）∈（-1，1），y∈（-1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理、由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、三角恒等變換、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．