Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-2
（1）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，（x-k）f'（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，建立方程，可求a的值；
（2）對(duì)a分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）由題意，x＞0時(shí)，不等式等價(jià)于k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)，求出右邊函數(shù)的值域，即可求k的最大值．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=e^x-a，則
∵f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，
∴f′（1）=0，解得a=e；
（2）f′（x）=e^x-a
若a≤0，則f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
若a＞0，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x=lna＜0，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，lna）；單調(diào)增區(qū)間是（lna，0）；
②當(dāng)a≥1時(shí)，x=lna＞0，∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
（3）由于a=1，∴（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1，
∴x＞0時(shí)，不等式等價(jià)于k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)①
令g（x）=

x+1

ex-1

+x(x＞0)，則g′(x)=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

由①知，函數(shù)h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零點(diǎn)，
∴g′（x）在（0，+∞）上存在唯一零點(diǎn)，
設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈（1，2）
當(dāng)x∈（0，α）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（α，+∞）時(shí)，g′（x）＞0
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）
∵g′（α）=0，∴e^α=α+2
∴g（α）=α+1∈（2，3）
∵①等價(jià)于k＜g（α）．k∈Z
∴k的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的值域，屬于中檔題．