Question

4．（重點中學做）如圖所示，設A，B分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點，過原點O作直線交線段AB于點M（異于點A，B），交橢圓于C，D兩點（點C在第一象限內），△ABC與△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點，直線OM的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，點P（3，1）在橢圓E上，求橢圓E的方程；
（2）當點M在線段AB上運動時，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由中點坐標公式求出A，B的中點M，把M坐標代入直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x得到a與b的關系，結合a²=b²+c²可求橢圓的離心率；
（2）設出C和D點的坐標，求出直線AB的方程，由點到直線的距離公式求出C和D到直線AB的距離，因為△ABC和△ABD同底，所以把兩個三角形的面積比轉化為C，D到直線AB的距離比，然后借助于基本不等式求最大值．

解答 解：（1）由題意可知：A（a，0），B（0，b），
∴M（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$），
點M（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$）在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²=3b²，
點P（3，1）在橢圓上，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，
解得a²=12，b²=4，
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設C（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，點D（-x₀，-y₀），
由題意知直線AB的方程為bx+ay-ab=0，點C的直線AB的上方，
∴點C到直線AB的距離h_C=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}-ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
同理點D到直線AB的距離h_D=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}+ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{h}_{C}}{{h}_{D}}$=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}-ab}{b{x}_{0}+a{y}_{0}+ab}$=1-$\frac{2ab}{b{x}_{0}+a{y}_{0}+ab}$，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，$^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}={a}^{2}^{2}$，
∴$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{2}$≤$\sqrt{\frac{^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{2}$，當且僅當bx₀=ay₀取等號，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{\sqrt{2}a}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{2}b}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$≤1-$\frac{2ab}{\sqrt{2}ab+ab}$=3-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值為3-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，突出考查了數形結合和等價轉化等數學思想方法，解答此題的關鍵是運用線性規(guī)劃的知識去掉點到直線的距離中的絕對值．屬難題．