Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)使得，那么稱(chēng)為的生成函數(shù).

（1）函數(shù)，是否為的生成函數(shù)？說(shuō)明理由；

（2）設(shè)，，當(dāng)時(shí)生成函數(shù)，求的對(duì)稱(chēng)中心（不必證明）；

（3）設(shè)，，取，，生成函數(shù)，若函數(shù)的最小值是5，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）不是的生成函數(shù),詳見(jiàn)解析（2）的對(duì)稱(chēng)中心為（3）

【解析】

（1）先假設(shè)存在，列出方程，根據(jù)方程無(wú)解，得出不存在；

（2）化簡(jiǎn)函數(shù)式為，從而判斷函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)；

（3）運(yùn)用雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并通過(guò)分類(lèi)討論確定函數(shù)的最值．

解：（1）根據(jù)生成函數(shù)的定義，設(shè)存在，使得，

則，

對(duì)比兩邊的系數(shù)可知，，方程組無(wú)解，

所以，不是，的生成函數(shù)；

（2）因?yàn)?/span>，所以，，

而，

該函數(shù)的圖象為雙曲線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心為；

（3）根據(jù)題意，，

根據(jù)基本不等式，，

當(dāng)且僅當(dāng)：時(shí)，取“”，

因此，函數(shù)單調(diào)性為，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

故令，解得，最值情況分類(lèi)討論如下：

①當(dāng)，時(shí)，，

所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，解得，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，，

所以，當(dāng)時(shí)，先減后增，，解得，不合題意；

綜合以上討論得，實(shí)數(shù)的值為1．