Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2－aln x(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝2處取得極值，求a的值；

(2)求f(x)的單調區(qū)間；

(3)求證：當x>1時， x2＋ln x<x3.

Answer 1

【答案】（1）a＝4；（2）見解析.；（3）見解析.

【解析】

（1）由f′(2)=0即可求出a＝4。

（2）由題可得f(x)的定義域為x>0。求出f′(x) =x－，當a≤0時f′(x) >0恒成立。故f(x)在 (0，＋∞) 單調遞增；當a>0時，令f′(x)>0解得即為f(x)的單調増區(qū)間，令f′(x)<0解得即為f(x)的單調減區(qū)間。

（3）構造函數(shù)g(x)＝x3－x2－ln x，利用導數(shù)得出g(x)在(1，＋∞)上為單調遞增。易得g(x) >0恒成立，進而可得到結論。

(1)解：f′(x)＝x－ ，因為x＝2是一個極值點，

所以2－＝0，所以a＝4.

(2)解：因為f′(x)＝x－，f(x)的定義域為x>0，

所以當a≤0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)．

當a>0時，f′(x)＝x－＝＝，

令f′(x)>0，得x>，

所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(，＋∞)；

令f′(x)<0，得0<x<，

所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，)．

(3)證明：設g(x)＝x3－x2－ln x，

則g′(x)＝2x2－x－，

因為當x>1時，g′(x)＝>0，

所以g(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．

所以g(x)>g(1)＝>0.

所以當x>1時，x2＋ln x<x3.