Question

19．已知命題$p：?{x_0}∈R，x_0^2+2{x_0}-m-1＜0$，命題$q：對(duì)于?x∈[{1，4}]，x+\frac{4}{x}＞m$．
（1）寫出命題p的否定形式；并求當(dāng)命題p為真時(shí)，實(shí)數(shù)m的范圍；
（2）若p和q一真一假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù)m的范圍；
（2）先求出關(guān)于命題P，q的m的范圍，通過討論p真q假或p假q真，得到不等式組，解出即可

解答 解：（1）命題p的否定形式：?x₀∈R，x₀²+2x₀-m-1≥0；
當(dāng)命題$p：?{x_0}∈R，x_0^2+2{x_0}-m-1＜0$為真時(shí)，△=4-4（-m-1）＞0⇒m＞-2，
∴實(shí)數(shù)m的范圍為：（-2，+∞）
（2）命題$q：對(duì)于?x∈[{1，4}]，x+\frac{4}{x}＞m$為真時(shí)，m＜（x+$\frac{4}{x}$）_min，x∈[1，4]時(shí)，（x+$\frac{4}{x}$）_min=4，⇒m＜4，
若p真q假：m＞-2且m≥4⇒m≥4；  若p假q真：m≤-2且m＜4⇒m≤-2；
綜上：若p和q一真一假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍：m≥4；或m≤-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的否定，考查了復(fù)合命題的真假問題，考查了全稱命題、特稱命題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．