Question

6．直線L過點M（2，1），且分別與X，Y正半軸軸交于A，B兩點．O為原點，
（1）求△AOB面積最小時直線L的方程
（2）|MA|•|MB|取最小值時L的方程．

Answer 1

分析 （1）可設出直線的方程令y=0和x=0求出A和B兩點坐標，然后表示出面積的關系式，求出面積最小時k的值，然后代入得到直線l的方程即可；
（2）|MA|•|MB|=$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}•\sqrt{4+4{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{|k|}$=2[-$\frac{1}{k}$+（-k）]，利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：設直線l：y-1=k（x-2）（k＜0），則有A（2-$\frac{1}{k}$，0）、B（0，1-2k）．
（1）由三角形面積S=$\frac{1}{2}$（1-2k）（2-$\frac{1}{k}$），得4k²+2（S-2）k+1=0．
因為△=4（S-2）²-16≥0，
所以S≥4或S≤0（舍去）．
又當S≥4時，k＜0，
所以△AOB面積的最小值為4．
此時，由4k²+4k+1=0，得k=-$\frac{1}{2}$．
所以直線方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．
（2）因為|MA|•|MB|=$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}•\sqrt{4+4{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{|k|}$=2[-$\frac{1}{k}$+（-k）]≥4（因為k＜0），
當且僅當-k=-$\frac{1}{k}$，即k=-1時，|MA|•|MB|取最小值4．此時直線方程為x+y-3=0．

點評 考查學生會求直線與x軸、y軸的截距，會利用基本不等式求面積的最小值，會寫出直線的一般式方程．