Question

3．已知f（x）=x²-ax+1（a為常數(shù)），
（1）若f（x）的圖象與x軸有唯一的交點，求a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[a-1，a+1]為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）求f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最小值．

Answer 1

分析 （1）令判別式△=0解出a；
（2）根據(jù)單調(diào)性得出對稱軸在區(qū)間[a-1，a+1]外邊們列出不等式解出；
（3）討論對稱軸和區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系得出f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最小值．

解答 解：（1）若f（x）的圖象與x軸有唯一的交點，
則方程x²-ax+1=0有唯一解，
∴△=a²-4=0，∴a=±2．
（2）f（x）的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
∵f（x）在[a-1，a+1]上單調(diào)，
∴$\frac{a}{2}$≤a-1或$\frac{a}{2}$≥a+1，
解得a≥2或a≤-2．
（3）f（x）的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，開口向上．
若$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0，則f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（0）=1；
若0＜$\frac{a}{2}$＜2，即0＜a＜4時，f（x）在[0，2]上先減后增，
∴f_min（x）=f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
若$\frac{a}{2}≥2$，即a≥4，則f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
∴f_min（x）=f（2）=5-2a．
綜上，當a≤0時，f_min（x）=1；
當0＜a＜4時，f_min（x）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當a≥4，f_min（x）=5-2a．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性判斷，最值計算，分類討論思想，屬于中檔題．