（2012•四川）橢圓
x2
a2
+
y2
5
=1(a為定值，且a＞
5
)的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B，△FAB的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是
2
3
2
3
．
分析：先畫出圖象，結(jié)合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)而求出何時(shí)周長(zhǎng)最大，即可求出橢圓的離心率．
解答：解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)E．如圖：
由橢圓的定義得：△FAB的周長(zhǎng)為：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當(dāng)AB過點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)；
∴△FAB的周長(zhǎng)：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
∴△FAB的周長(zhǎng)的最大值是4a=12⇒a=3；
∴e=
c
a
=
a2-b2
a
=
2
3
．
故答案：
2
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•四川）已知函數(shù)f(x)=cos2
x
2
-sin
x
2
cos
x
2
-
1
2
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若f(α)=
3
2
10
，求sin2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•四川）橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是
3
3
．

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（2012•四川）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，則a1+a2+…+a7=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•四川）記[x]為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿足x1=a，xn+1=[
xn+[
a
xn
]
2
](n∈N*)，現(xiàn)有下列命題：
①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列{xn}的前3項(xiàng)依次為5，3，2；
②對(duì)數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)總有xn=xk；
③當(dāng)n≥1時(shí)，xn＞
a
-1；
④對(duì)某個(gè)正整數(shù)k，若xk+1≥xk，則xk=[
a
]．
其中的真命題有
①③④
①③④
．（寫出所有真命題的編號(hào)）

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