Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n2+n

2

，等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁b₂=2b₃，且b₁，b₂+2，b₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an

bn

，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接利用a_n=S_n-S_n-1，n≥2，驗(yàn)證n=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；利用b₁b₂=2b₃，且b₁，b₂+2，b₃成等差數(shù)列，求出首項(xiàng)與公比即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an

bn

，利用錯(cuò)位相減法直接求解數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，通過(guò)表達(dá)式直接求T_n的取值范圍．

解答： （本小題滿(mǎn)分14分）
解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，
n=1時(shí)，a₁=1，滿(mǎn)足題意，
∴a_n=n…（3分）
設(shè){b_n}的公比為q，則

b12•q=2b1q2 2(b1q+2)=b1+b1q2

…（5分）
∴2（2q²+2）=2q（1+q²）∴q=2，b₁=4
∴bn=2n+1…（7分）
（Ⅱ）∵a_n=n，bn=2n+1．
∴cn=

n

2n+1

∴Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，…①，

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

，…②
由①-②錯(cuò)位相減法得

1

2

Tn=

1

22

+(

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)-

n

2n+2

，
解得Tn=1-

n+2

2n+1

…（11分）
∵Tn+1-Tn=1-

n+3

2n+2

-(1-

n+2

2n+1

)=

2n+1

2n+2

＞0
∴

1

4

≤Tn＜1…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和，以及范圍問(wèn)題，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．