Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax，g（x）=f（x）-x²+1，當(dāng)a=-1時(shí)，證明g（x）≤0在其定義域內(nèi)恒成立，并證明：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，（n∈N，n≥2）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，得到極值，判斷也為最值，進(jìn)而證得g（x）≤0在x＞0恒成立；
（2）由（1）可得lnx≤x-1，然后轉(zhuǎn)化成n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1，從而得到

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，再累積加，最后利用裂項(xiàng)求和法得到不等式的右邊．

解答： 證明：（1）由于g（x）=f（x）-x²+1=lnx-x+1，（x＞0），g′（x）=

1

x

-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，
則g（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為0，
則g（x）≤0在x＞0恒成立；
（2）由（1）得g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．因此lnx≤x-1．
因?yàn)閚∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1．則

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

．
所以

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

≤（1-

1

22

）+（1-

1

32

）+…+（1-

1

n2

）
=（n-1）-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）
＜（n-1）-（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

n+1

）=

2n2-n-1

2(n+1)

．
所以結(jié)論成立．

點(diǎn)評：本題主要考查了了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明，屬于難題．