Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（0＜3a＜b），且f（x）≥0對任意實數(shù)x恒成立．
（I）當b=4

a

時，求c的最小值；
（Ⅱ）當

f(-2)

f(2)-f(0)

取最小值時，對任意的x₁，x₂∈[-3a，-a]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4a，
求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（I）由f（x）≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為即c≥

b2

4a

，利用b=4

a

時，結(jié)合基本不等式求解即可．
（Ⅱ）分類討論轉(zhuǎn)化f（x）_max-f（x）_min≤4a，利用單調(diào)性，結(jié)合不等式求解即可．

解答： 解：（I）由f（x）≥0恒成立，得△≤0，即c≥

b2

4a

，
當b=4

a

時，c≥4，即c的最小值為：4，
（Ⅱ）設T=

f(-2)

f(2)-f(0)

=

4a-2b+c

4a+2b

≥

4a-2b+ b2 4a

4a+2b

，
設t=

b

a

＞3，則T≥

(t-4)2

8(t+2)

，再設u=t+2＞5，
則b=c=4a時，

f(-2)

f(2)-f(0)

取最小值，此時f（x）=a（x+2）²，
對任意的x₁，x₂∈[-3a，-a]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4a，
即當x∈[-3a，-a]時，都有f（x）_max-f（x）_min≤4a，
①當0＜a≤

2

3

時，f（x）_max-f（x）_min=f（-a）-f（-3a）=8a²（1-a）≤4a，
解得；0＜a≤

2

3

，
②

2

3

＜a≤1時，f（x）_max-f（x）_min=f（-a）-f（-2）=a（2-a）²≤4a，
解得；

2

3

＜a≤1，
③1＜a≤2時，
f（x）_max-f（x）_min=f（-3a）-f（-2）=a（2-3a）²≤4a，
解得；1＜a≤

4

3

，
④a＞2時，f（x）_max-f（x）_min=f（-3a）-f（-a）=8a²（a-1）²≤4a，不符合，舍去
綜上：實數(shù)a的取值范圍：（0，

4

3

]

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式的運用求解，分類討論思想，屬于中檔題，關鍵是分清討論的標準，確定最大值最小值即可．